Implication et équivalence - Condition suffisante et condition nécessaire

Définition

Soit \(P\) et \(Q\) deux propositions.
Une implication est une proposition de la forme : « Si \(P\) alors \(Q\) ».
On note cela \(P\Rightarrow Q\).

Par ailleurs, cette implication est :

• fausse lorsque \(P\) est vraie et \(Q\) est fausse ;
  
• vraie dans tous les autres cas.
  

Vocabulaire

On considère une implication \(P\Rightarrow Q\). On peut alors dire :

1. Pour que la proposition \(Q\) soit vraie, il suffit que la proposition \(P\) soit vraie. En effet, si \(P\) est vraie, alors cela implique directement que \(Q\) l'est également. On dit alors que la proposition \(P\) est une condition suffisante pour que la proposition \(Q\) soit vraie.

2. Pour que la proposition \(P\) soit vraie, il faut que la proposition \(Q\) soit vraie. Quand \(P\) est vraie, alors \(Q\) doit obligatoirement l’être aussi, sinon la proposition entière \(P\Rightarrow Q\) est fausse.
Donc \(Q\) ne « rend » pas \(P\) vraie, mais \(Q\) est nécessaire pour que l’implication soit vraie dans le cas où \(P\) est vraie. On dit alors que la proposition \(Q\) est une condition nécessaire pour que la proposition \(P\) soit vraie.

Exemple

Prenons l'implication suivante : « Si on est inscrit à la fac, alors on a obtenu le baccalauréat. »
Cette implication est vraie et, par ailleurs, si on interroge une personne inscrite à la fac, alors on sait directement qu'elle a son baccalauréat. La proposition « être inscrit à la fac » est donc bien une condition suffisante à la proposition « avoir son baccalauréat ».
Maintenant, si quelqu’un « est inscrit à la fac » (\(P\) vraie), alors il est nécessaire « d'avoir son baccalauréat » (\(Q\) vraie), sinon, l'implication devient fausse. La proposition « avoir son baccalauréat » est donc bien une condition nécessaire à la proposition « être inscrit à la fac ».
Par ailleurs, \(Q\) ne suffit pas puisqu'il faut encore d'autres critères (comme une étude du dossier scolaire par exemple).

Définition

Soit \(P\) et \(Q\) deux propositions.
L'équivalence notée \(P\Leftrightarrow Q\) est une proposition qui est :

• vraie lorsque \(P\) et \(Q\) sont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses ;
• fausse sinon.
  

Vocabulaire

On considère une équivalence \(P\Leftrightarrow Q\). On peut alors dire :

• la proposition \(P\) est vraie si et seulement si la proposition \(Q\) est vraie ;
  
• pour que la proposition \(P\) soit vraie, il faut et il suffit que la proposition \(Q\) soit vraie ;
  
• la proposition \(P\) est une condition nécessaire et suffisante pour la proposition \(Q\).
  

Dans ce cas précis d'équivalence, on peut maintenant utiliser les termes « nécessaire » et « suffisant » en même temps puisqu'une équivalence est une double implication : \(P\Rightarrow Q\) et \(P\Leftarrow Q\).

Exemples

1. Prenons l'équivalence suivante : « Une personne est majeure si et seulement si elle a au moins 18 ans. »
Cette équivalence est vraie puisque :

• si une personne est majeure, alors elle a au moins 18 ans ;
  
• et si une personne a au moins 18 ans, alors elle est majeure.
  

2. Prenons l'équivalence suivante : \(5x=15\Leftrightarrow x=3\).
Cette équivalence est vraie puisque :

• si \(5x=15\), alors en divisant les deux membres de l'égalité par \(5\), on retrouve \(x=3\) ;
  
• si \(x=3\), alors \(5\times3=15\) et donc \(5x=15\).